viernes, 28 de enero de 2011

La paradoja de la lotería de Navidad

Pasacalles de lotería en Alcalá la Real,Jaén, España
(Michelangelo-36, 2005)

Hace unos días, mi hermano me planteó la siguiente (falsa) paradoja relacionada con el sorteo de lotería de Navidad:

"En un sorteo normal de lotería se venden 100.000 números diferentes, así que si el sorteo está bien hecho, la probabilidad de que el premio gordo caiga en un número concreto debe ser de 1/100.000. El sorteo se realiza con cinco bombos con diez bolas cada uno, con los números del 0 al 9. Para extraer un premio, se saca una bola de cada bombo y se compone el número premiado. La probabilidad de que salga una bola concreta de un bombo es de 1/10. Así que la probabilidad de que un número gane el gordo es: 1/10 * 1/10 * 1/10 * 1/10 * 1/10 = 1/100.000. La misma probabilidad que habíamos calculado al principio. Pero en el sorteo de Navidad, la mecánica es diferente. Para empezar, sólo se venden 85.000 números. La probabilidad que tiene cada número de ganar el gordo debe ser de 1/85.000. Y el sorteo se realiza de otra manera: Sólo hay dos bombos, uno en el que se han introducido todos los números (85.000 bolas) y otro con los 1.787 premios. A lo largo del sorteo, se van extrayendo sendas bolas de los bombos, de manera que cada premio queda asignado al número correspondiente. Las extracciones en cada bombo son lo que en estadística se llama sucesos independientes, el resultado de cada una de ellas no tiene ninguna influencia en el de la otra, así que la probabilidad de que salga el gordo en un bombo y nuestro número en el otro es de 1/1.787 * 1/85.000 = 1/151.895.000. ¿Menos de una probabilidad entre 150 millones de que nos toque el gordo? ¿Cómo es posible?"

Para empezar, el cálculo es correcto, pero la probabilidad a la que se refiere es la de que un número gane el gordo con una sola extracción del bombo de premios. Pero durante el sorteo, se extraen todas las bolas del bombo de premios, así que la probabilidad de que salga el gordo del bombo de premios es 1; siempre va a salir, más pronto o más tarde. Lo difícil es que, al salir, coincida con la salida de nuestro número en el otro bombo. ¿La probabilidad de que salga nuestro número en ese momento será de 1/85.000 como habíamos calculado al principio? No exactamente, porque una vez que un número se ha extraído del bombo, ya no vuelve a él; sólo en la primera extracción hay 85.000 números en el bombo. En la primera extracción, la probabilidad de cada número es 1/85.000; en la segunda, 1/84.999, y así sucesivamente.

¿Cuál es entonces la forma correcta de calcular la probabilidad de que nos toque el gordo, teniendo en cuenta el desarrollo del sorteo? Como siempre, contando todos los casos favorables. Nos tocará el gordo si nuestro número sale en la misma extracción que el premio, sea ésta la primera, la segunda, la tercera...

La probabilidad de que en la primera extracción salgan nuestro número y el gordo, como ya hemos visto, es de 1/1.787 * 1/85.000 = 1/151.895.000. Pero la probabilidad de que el gordo y nuestro número salgan en la segunda extracción no es 1/1.786 * 1/84.999, sino esas probabilidades multiplicadas por las probabilidades de que no hayan salido en la primera extracción: 1/1.786 * 1.786/1.787 * 1/84.999 * 84.999/85.000 = 1/1.787 * 1/85.000, exactamente la misma probabilidad que en la primera extracción. Lo mismo ocurre en la tercera extracción (1/1.785 * 1.786/1.787 * 1.785/1.786 * 1/84.998 * 84.999/85.000 * 84.998/84.999 = 1/1.787 * 1/85.000) y en todas las extracciones siguientes, hasta la última; entonces, la probabilidad total de que nos toque la lotería, la suma de todas esas probabilidades, será 1.787 * 1/1.787 * 1/85.000 = 1/85.000. Como tenía que ser.




Hoy cumple 75 años Alfonso Joseph D'Abruzzo, más conocido como Alan Alda.

lunes, 24 de enero de 2011

Más problemas con el café con leche

(Tercera contribución de El neutrino al XV Carnaval de la Física, organizado por Curiosidades de la Microbiología)

Este fin de semana, después de publicar El problema del café con leche, he tratado de aplicar mis propios consejos, pero dió la casualidad de que se había acabado la leche fría. Sólo quedaba leche del tiempo, a temperatura ambiente. Y me pregunté: ¿Cambiará el resultado si enfriamos el café con leche del tiempo? Si mantenemos los otros datos invariables (café a 80ºC y ambiente a 20ºC), las ecuaciones resultantes son:



Ahora, si dejamos pasar mucho tiempo, ambas temperaturas se igualan: El café se ha enfriado hasta la temperatura ambiente, y la mezcla con leche a esa misma temperatura no cambia el resultado. Pero antes de que eso suceda, se enfría más rápidamente el café si echamos la leche al final, igual que en el caso de la leche fría.

Y, ya puestos, vamos a ver qué pasa si se utiliza leche caliente, digamos a 60ºC:



Este caso es más complicado. En un primer momento, el café se enfría más deprisa si añadimos la leche al final, como en los otros casos, pero llega un momento en que la situación se invierte. Lógicamente, si añadimos leche caliente cuando el café ya se ha enfriado por debajo de esa temperatura, vamos a conseguir que la temperatura aumente. Así, la temperatura que se consigue echando la leche caliente al final nunca baja de 40ºC.

jueves, 20 de enero de 2011

La tortuga jirafa de Rodrigues

Hace unos meses hablamos del dodo, seguramente el animal más célebre entre los que se han extinguido en tiempos históricos. Aunque los dodos no podían volar, sus antepasados eran palomas que llegaron a la isla Mauricio volando desde el sudeste asiático. Pero en la isla Mauricio, y en sus vecinas Rodrigues y la Reunión, que constituyen el archipiélago de las Mascareñas, habitaban otros animales cuyos antepasados no habían llegado volando. Algunos insectos y otros invertebrados pudieron llegar arrastrados por el viento, mientras que los animales más grandes tenían que recurrir a balsas de fortuna, troncos flotantes o amasijos de vegetación arrastrados por el mar. Y unos pocos llegaron flotando en el agua. Así llegaron a la isla Mauricio los antepasados de las tortugas gigantes que se convirtieron en los herbívoros dominantes de las islas Mascareñas antes de la llegada del hombre...

Sigue leyendo y escucha el podcast en Zoo de Fósiles.

martes, 18 de enero de 2011

El problema del café con leche

Una taza de café (Henning Makholm, 2007)
(Segunda contribución de El neutrino al XV Carnaval de la Física, organizado por Curiosidades de la Microbiología)

Uno de los lectores más asiduos y participativos de El neutrino, Desconocido, nos ha dejado la siguiente consulta:

"Sr. Neutrino: Mi microondas está algo estropeado y no siempre calienta el café a la misma temperatura, por lo que algunas veces está demasiado caliente. Como por las mañanas tengo prisa, quisiera saber qué tengo que hacer y por qué para enfriarlo más rápidamente: ¿echo un poco de leche fría nada más sacarlo de microondas y espero 5 minutos para tomármelo o espero 5 minutos y luego echo la leche fría? ¿podría ilustrarnos con un post al respecto?"

Se trata seguramente del problema de Física del que más se ha escrito en Internet desde sus inicios, y sin embargo, sigue sin estar resuelto satisfactoriamente. Y esto por dos razones: la primera, que muchos de los que han intentado aportar una solución se han limitado a los aspectos teóricos de la cuestión; la segunda, que si se trata de resolver experimentalmente el problema, son tantos los factores que afectan al resultado final que es imposible obtener un resultado de validez universal.

El cálculo teórico ya de por sí es muy complejo, porque hay que tener en cuenta las tres formas de transferencia de calor entre el café y el ambiente: la conducción (transferencia de calor por contacto directo entre el café y el ambiente), la convección (transferencia de calor por el movimiento del aire sobre el café) y la radiación (energía electromagnética emitida por el café). Para pequeñas diferencias de temperatura, una aproximación aceptable es la ley de enfriamiento de Newton, que afirma que la velocidad de enfriamiento es proporcional a la diferencia de temperatura entre el cuerpo y el ambiente. Por consiguiente, esa diferencia de temperatura decrece exponencialmente con el tiempo:


donde T(t) es la temperatura del café en función del tiempo, Ta es la temperatura del ambiente, que se supone constante, T0 es la temperatura inicial del café, r es un parámetro que depende entre otras cosas de la superficie de contacto entre el café y el ambiente, de la masa del café y de su calor específico, t es el tiempo, y e es... el número e, base de los logaritmos neperianos.

Por otra parte, en la mezcla del café con la leche se igualan sus temperaturas de manera que se cumpla la Primera Ley de la Termodinámica, la ley de conservación de la energía. O sea, que el café transfiere energía a la leche hasta que ambos están a la misma temperatura. La temperatura final de la mezcla es:


donde mc y ml son las masas de café y leche respectivamente, cc y cl sus calores específicos y Tc y Tl sus temperaturas iniciales. El calor específico del café es aproximadamente igual al del agua (sobre todo, si es café americano), o sea, 1 caloría por gramo y por grado, mientras que el de la leche entera es aproximadamente 0,93 calorías por gramo y por grado. El de la leche desnatada debe de ser también cercano al del agua, y el de la semidesnatada tendrá un valor intermedio. Como se trata de un café con leche, y no de un cortado, vamos a suponer que mezclamos el café con la leche a partes iguales, así que mc = ml; por otra parte, nunca está de más cuidar la línea, así que vamos a utilizar leche desnatada, con lo que cc = cl. Entonces, la fórmula de la temperatura final de la mezcla se simplifica mucho:


Veamos entonces lo que ocurre en los dos casos propuestos. Si echamos primero la leche fría, la temperatura final después de dejar enfriar la mezcla será:


Por el contrario, si dejamos que el café se enfríe, y después añadimos la leche:


Nótese que en este segundo caso el parámetro de enfriamiento, r', es distinto: aunque la taza sea cilíndrica y la superficie de contacto con el aire sea la misma en ambos casos, la masa del líquido es la mitad que en el primer caso. Suponiendo que no haya otros factores que afecten al valor de r' (que seguro que los hay), una masa doble necesita perder el doble de calor para enfriarse, así que podemos aproximar r' = 2r (o sea, que el café solo, al ser menos cantidad, se enfría el doble de rápido que el café con leche); finalmente:


Ahora damos unos valores razonables a las temperaturas iniciales en ambas ecuaciones y comparamos los resultados. Si suponemos que el café sale del microondas a 80ºC, la leche de la nevera a 5ºC, y la temperatura ambiente es 20ºC:




Podemos representar gráficamente ambas fórmulas en función de rt:


La gráfica nos muestra que las dos temperaturas, lógicamente, coinciden en el instante inicial (es lo mismo echar la leche y esperar 0 segundos que esperar 0 segundos y echar la leche). Después, en todo momento, T1 es mayor que T2, así que concluimos que la manera más rápida de enfriar el café es echarle la leche al final. Es lógico. De hecho, si esperamos mucho tiempo, como la leche está más fría que el ambiente, podemos enfriar el café por debajo de esa temperatura. Es lo que muestra la gráfica: T1 nunca baja de 20ºC, la temperatura ambiente, mientras que T2 puede descender hasta 12,5ºC si esperamos hasta que el café se haya enfriado completamente antes de mezclarlo con la leche.

Pero para llegar a este resultado hemos hecho muchas aproximaciones y suposiciones, algunas de las cuales ni siquiera han quedado explicitadas en el texto: no se ha tenido en cuenta el enfriamiento que se produce a través de las paredes de la taza, ni el efecto de que la temperatura no sea la misma en todos los puntos del café, ni en hecho de que el café solo, al ser más oscuro, emite más energía por radiación que el café con leche... y ni siquiera sé si al mezclar la leche con el café se produce alguna reacción química que genere o absorba energía. Así que, en conclusión, como físico, recomiendo echar la leche enseguida si se quiere que el café se mantenga caliente más tiempo, y esperar hasta el último momento si se quiere enfriar con rapidez. Pero, como persona sensata, recomiendo realizar el experimento en las condiciones particulares del café con leche de cada uno, y observar lo que ocurre.

miércoles, 12 de enero de 2011

El descubrimiento de la velocidad de la luz

Escucha el podcast
Ole Rømer (J.P. Trap, 1868)
(Publicado originalmente en Madrid Sindical)


En nuestra experiencia cotidiana, la luz se transmite instantáneamente. Encendemos una cerilla, una vela, una bombilla o una linterna, y su luz llega inmediatamente hasta los rincones más alejados. Desde la antigüedad, los sabios han discrepado sobre la finitud o infinitud de la velocidad de la luz. Ya el griego Empédocles razonaba que, puesto que la luz era algo en movimiento, necesitaba cierto tiempo para desplazarse; Aristóteles, por el contrario, sostenía que la luz no es un movimiento, sino una presencia. Hasta los experimentos del físico persa Alhazen en el siglo XI, existían dos teorías contrapuestas sobre la luz y la visión: según la teoría de la emisión, la visión se produce mediante rayos que emanan de los ojos; la teoría de la intromisión, por su parte, propone que son los rayos que llegan a los ojos procedentes de los objetos los que nos permiten ver a éstos. Para la primera teoría, la velocidad de los "rayos visuales" debe ser infinita, puesto que si abrimos los ojos durante la noche, vemos las estrellas inmediatamente. Pero Alhazén, en su Libro de Óptica, publicado en 1201, mostró con sus experimentos que la teoría de la intromisión es la correcta, y propuso con acierto que la luz debía tener una velocidad finita, más lenta en los cuerpos más densos. En la primera mitad del siglo XVII se realizaron algunos experimentos para medir la velocidad de la luz sobre la superficie de la Tierra, pero debido a las cortas distancias involucradas (poco más de un kilómetro), no se pudo obtener ningún resultado de ellos.

Esquema de la ocultación de Io (D,C)
por parte de Júpiter (B), vista
desde diferentes puntos de la órbita
de la Tierra (Rømer, 1676)
A principios ese mismo siglo, la determinación de la longitud geográfica era un importante problema para la navegación. La latitud resulta fácil de medir; basta con observar la altura sobre el horizonte de la estrella Polar o de otro cuerpo celeste conocido. Pero para determinar la longitud hace falta medir el tiempo, y los relojes mecánicos con la precisión necesaria no se desarrollaron hasta el siglo XVIII. Galileo propuso utilizar como reloj las ocultaciones de los satélites de Júpiter: En sus órbitas, los satélites se ocultan regularmente tras el planeta. Aunque el método resultó poco práctico, la propuesta tuvo como consecuencia la observación exhaustiva de dichas ocultaciones. Con esas observaciones se descubrió que los satélites parecían moverse más deprisa cuando la Tierra se acercaba a Júpiter que cuando los dos planetas se distanciaban, lo que según las leyes de Kepler era imposible. En 1676, el astrónomo danés Ole Rømer (la o tachada no significa que sea muda, es una letra de las lenguas escandinavas que representa una vocal semicerrada anterior redondeada, o sea, como una e con los labios redondeados como para pronunciar una u), que entonces trabajaba en el Observatorio Real de París, dio con la explicación: Debido a la velocidad finita de la luz, cuanto más lejos está Júpiter de la Tierra, más tarda la imagen de la ocultación en llegar hasta nosotros.

Según los cálculos de Rømer, la luz tardaba unos veintidós minutos en recorrer el diámetro de la órbita de la Tierra alrededor del Sol, lo que corresponde en unidades actuales a 220.000 kilómetros por segundo, un 27% menos que el valor correcto, 299.792,458 kilómetros por segundo.

(continuará)