La paradoja de la lotería de Navidad

Pasacalles de lotería en Alcalá la Real,Jaén, España
(Michelangelo-36, 2005)

(Contribución de El neutrino al X Carnaval de Matemáticas, organizado por La ciencia de la Mula Francis)

Hace unos días, mi hermano me planteó la siguiente (falsa) paradoja relacionada con el sorteo de lotería de Navidad:

"En un sorteo normal de lotería se venden 100.000 números diferentes, así que si el sorteo está bien hecho, la probabilidad de que el premio gordo caiga en un número concreto debe ser de 1/100.000. El sorteo se realiza con cinco bombos con diez bolas cada uno, con los números del 0 al 9. Para extraer un premio, se saca una bola de cada bombo y se compone el número premiado. La probabilidad de que salga una bola concreta de un bombo es de 1/10. Así que la probabilidad de que un número gane el gordo es: 1/10 * 1/10 * 1/10 * 1/10 * 1/10 = 1/100.000. La misma probabilidad que habíamos calculado al principio. Pero en el sorteo de Navidad, la mecánica es diferente. Para empezar, sólo se venden 85.000 números. La probabilidad que tiene cada número de ganar el gordo debe ser de 1/85.000. Y el sorteo se realiza de otra manera: Sólo hay dos bombos, uno en el que se han introducido todos los números (85.000 bolas) y otro con los 1.787 premios. A lo largo del sorteo, se van extrayendo sendas bolas de los bombos, de manera que cada premio queda asignado al número correspondiente. Las extracciones en cada bombo son lo que en estadística se llama sucesos independientes, el resultado de cada una de ellas no tiene ninguna influencia en el de la otra, así que la probabilidad de que salga el gordo en un bombo y nuestro número en el otro es de 1/1.787 * 1/85.000 = 1/151.895.000. ¿Menos de una probabilidad entre 150 millones de que nos toque el gordo? ¿Cómo es posible?"

Para empezar, el cálculo es correcto, pero la probabilidad a la que se refiere es la de que un número gane el gordo con una sola extracción del bombo de premios. Pero durante el sorteo, se extraen todas las bolas del bombo de premios, así que la probabilidad de que salga el gordo del bombo de premios es 1; siempre va a salir, más pronto o más tarde. Lo difícil es que, al salir, coincida con la salida de nuestro número en el otro bombo. ¿La probabilidad de que salga nuestro número en ese momento será de 1/85.000 como habíamos calculado al principio? No exactamente, porque una vez que un número se ha extraído del bombo, ya no vuelve a él; sólo en la primera extracción hay 85.000 números en el bombo. En la primera extracción, la probabilidad de cada número es 1/85.000; en la segunda, 1/84.999, y así sucesivamente.

¿Cuál es entonces la forma correcta de calcular la probabilidad de que nos toque el gordo, teniendo en cuenta el desarrollo del sorteo? Como siempre, contando todos los casos favorables. Nos tocará el gordo si nuestro número sale en la misma extracción que el premio, sea ésta la primera, la segunda, la tercera...

La probabilidad de que en la primera extracción salgan nuestro número y el gordo, como ya hemos visto, es de 1/1.787 * 1/85.000 = 1/151.895.000. Pero la probabilidad de que el gordo y nuestro número salgan en la segunda extracción no es 1/1.786 * 1/84.999, sino esas probabilidades multiplicadas por las probabilidades de que no hayan salido en la primera extracción: 1/1.786 * 1.786/1.787 * 1/84.999 * 84.999/85.000 = 1/1.787 * 1/85.000, exactamente la misma probabilidad que en la primera extracción. Lo mismo ocurre en la tercera extracción (1/1.785 * 1.786/1.787 * 1.785/1.786 * 1/84.998 * 84.999/85.000 * 84.998/84.999 = 1/1.787 * 1/85.000) y en todas las extracciones siguientes, hasta la última; entonces, la probabilidad total de que nos toque la lotería, la suma de todas esas probabilidades, será 1.787 * 1/1.787 * 1/85.000 = 1/85.000. Como tenía que ser.

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Hoy cumple 75 años Alfonso Joseph D'Abruzzo, más conocido como Alan Alda.