La solución al problema de la lista de números

(Contribución de El neutrino a la "edición 6.9: el conjunto de Cantor" del Carnaval de Matemáticas, organizada por ::ZTFNews)

La semana pasada planteé el siguiente problema:

Con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7 Marta escribe todos los números de siete dígitos que no tienen ningún dígito repetido. Los escribe en una larga lista ordenándolos de menor a mayor. Si parte la lista por la mitad, ¿cuál es el último número de la primera mitad?

Como ya dije, se puede resolver sin hacer ni un solo cálculo. Vamos a verlo.

En primer lugar, como la lista está ordenada de menor a mayor, estarán primero todos los números que empiezan por 1, luego los que empiezan por 2, 3... y así sucesivamente hasta el 7. Ahora bien, por la forma en que hemos construido la lista, tiene que haber la misma cantidad de números que empiezan por cada uno de los dígitos, así que los que empiezan por 1, 2 y 3 estarán en la primera mitad, los que empiezan por 5, 6 y 7 en la segunda, y los que empiezan por 4 se dividen entre las dos listas.

De la misma manera, entre los que empiezan por cuatro, van primero aquellos cuya segunda cifra es el 1, luego el 2, luego el 3, etc. También ahora habrá la misma cantidad de números para cada segunda cifra. Otra vez, los que tienen 1, 2 o 3 como segunda cifra se quedan en la primera lista, y los que tienen 5, 6 o 7 en la segunda. Pero ahora, como los dígitos no se repiten, entre los números que empiezan por 4 no hay números cuya segunda cifra sea el 4. Así que el último número de la primera mitad empieza por 43, y como están ordenados de menor a mayor, tiene que ser el mayor número que se pueda formar con los dígitos del 1 al 7 que empiece por 43, o sea...

4376521

(El siguiente, primero de la segunda mitad, es el 4512367.)