El concurso de las tres puertas

(Contribución de El neutrino a la edición 2.4 del Carnaval de las Matemáticas, organizado por seispalabras.)

El presentador ha abierto una puerta
(Cepheus, 2006)

En la película 21: Black Jack, un profesor de matemáticas selecciona a sus mejores alumnos para ganar dinero en los casinos de Las Vegas "contando cartas". Uno de los problemas que les plantea es el conocido problema del concurso de las tres puertas. Aunque me han dicho que ya he hablado aquí de este tema, ni lo recuerdo ni lo encuentro en los archivos, así que aquí va la explicación.

En un concurso televisivo, el concursante debe elegir entre tres puertas cerradas. Detrás de una de ellas hay un coche; las otras dos ocultan sendas cabras. Una vez que el concursante ha elegido una puerta, el presentador del concurso, que sabe lo que hay en cada una de ellas, abre una de las dos restantes, tras la que hay una cabra. Entonces, el presentador ofrece al concursante la posibilidad de cambiar su elección. ¿Qué debe hacer el concursante para tener más probabilidades de ganar el coche? ¿Quedarse con su puerta, o cambiar?

A primera vista, parece que da igual, porque todas las puertas tienen la misma probabilidad de albergar el coche. Pero no es así. Para conseguir el coche, lo mejor es cambiar de puerta. ¿Por qué?

Al principio, como hay tres puertas, cada una de ellas tiene una probabilidad de 1/3. Así que, cuando el concursante elige, tiene una probabilidad de 1/3 de ganar el coche. O sea, que hay una probabilidad de 2/3 de que el coche no esté detrás de la puerta que ha elegido. Después de que el presentador haya abierto una puerta que tenía una cabra, estas probabilidades siguen siendo las mismas, puesto que ni ha mostrado el coche ni lo ha movido de puerta. Así que sigue habiendo una probabilidad de 2/3 de que el coche no esté detrás de la puerta que ha elegido el concursante. Pero como sólo quedan dos puertas, si el coche no está detrás de la puerta que ha elegido el concursante, tiene que estar detrás de la otra. Así que es mejor cambiar.

Si no ha quedado claro, podemos contar uno por uno los casos posibles y los casos favorables y desfavorables. Supongamos que el coche está detrás de la puerta nº 1. El concursante puede elegir la puerta 1, la 2 o la 3, con una probabilidad de 1/3 en cada caso.

Si elige la puerta 1, el presentador puede abrir la puerta 2 o la 3; ambas tienen una cabra. Éste es el único caso en el que el concursante gana si mantiene su puerta.

Si elige la puerta 2, el presentador abrirá la puerta 3, ya que no puede abrir la 1, que contiene el coche. Si el concursante se queda con su puerta, pierde; si cambia, sólo le queda la 1, así que gana.

Si elige la puerta 3, el presentador abrirá la puerta 2. Igual que en el caso anterior, si el concursante se queda con su puerta, pierde; si cambia, gana.

O sea, que para ganar si cambiar de puerta hay que haber elegido la puerta del coche en primer lugar. Pero como sólo una de las tres puertas tiene un coche, la probabilidad de esto es de 1/3. Así que, como la suma de todas las probabilidades tiene que ser 1, la probabilidad de ganar cambiando de puerta es 1 - 1/3 = 2/3. Como queríamos demostrar.