El descubrimiento de las secciones cónicas

Las secciones cónicas (Galois76)

Me pregunta un lector en Facebook: ¿De dónde viene la idea de juntar dos conos por su vértice para poder obtener la hipérbola? Pues parece que el primero al que se le ocurrió fue el geómetra griego Apolonio de Perga, en su obra Sobre las secciones cónicas, en la que además dio sus nombres actuales a las secciones cónicas: elipse, parábola e hipérbola.

Las secciones cónicas (o simplemente cónicas) son las curvas definidas por la intersección de un cono recto con un plano que no pasa por su vértice. Si el ángulo que forma el plano con el eje del cono es mayor que la abertura del cono, la curva generada es una elipse (si el plano es perpendicular al eje, como caso particular, se obtiene una circunferencia); si el ángulo es igual a la abertura, o lo que es lo mismo, el plano es paralelo a la generatriz, se genera una parábola; y si el ángulo es mayor, una hipérbola. Pero si consideramos el cono como figura geométrica, sólo se obtiene una de las dos ramas de la hipérbola. Para conseguir las dos, como dice el lector, hay que unir dos conos por su vértice; o, como dicen los matemáticos, hay que usar un cono de dos hojas.

Una hipérbola con sus dos ramas

El descubridor de las secciones cónicas fue Menecmo (380-320 a.C.), un discípulo de Platón y maestro de Aristóteles y de Alejandro Magno. Menecmo descubrió las cónicas casi por casualidad, buscando una solución al famoso (e irresoluble) problema de la duplicación del cubo (dado un cubo, hallar, usando sólo regla y compás, el lado de un cubo de volumen doble). Definió sus cónicas como la intersección de un cono y un plano perpendicular a su generatriz, por lo que si el vértice del cono era un ángulo agudo sólo obtenía elipses; si era un ángulo recto, parábolas; y si era obtuso, hipérbolas. Encontró un camino hacia la solución del problema de la duplicación del cubo usando la intersección de dos curvas cónicas: o bien una hipérbola y una parábola o bien dos parábolas.

Después de Menecmo, también Euclides y Conón de Samos estudiaron las propiedades de las cónicas. (El término cono no deriva del nombre de Conón de Samos, sino del griego konos, que significa piña; las coníferas no se llaman así porque los abetos tengan una forma más o menos cónica, sino porque dan piñas.) Pero fue el geómetra Apolonio de Perga (c.262-c.190 a.C.) el que descubrió que se podían obtener los tres tipos de cónicas variando la inclinación del plano en un mismo cono, y el primero que encontró las dos ramas de la hipérbola utilizando el cono de dos hojas. La obra de Apolonio Sobre las cónicas constaba de ocho libros, de los que se conservan siete: los cuatro primeros en griego, comentados por Eutocio de Ascalón (siglo VI), y los tres siguientes traducidos al árabe por el astrónomo persa Tabit ben Curra (siglo IX); el libro octavo se ha perdido.

Para más información, hay un extenso y excelente ensayo de Pedro Miguel González Urbaneja sobre la vida y la obra de Apolonio de Perga en la web DivulgaMAT.