Cumpleaños compartidos

Una celebración familiar (Jeanne Boleyn, 1965)

(Contribución de El neutrino al VII Carnaval de Matemáticas, organizado por El Máquina de Turing)

Desde que tengo uso de razón, mi cumpleaños casi nunca ha sido sólo mío. En el colegio, en mi misma clase, había otro chico que cumplía los años el mismo día que yo. Después, en la universidad, puede disfrutar unos cuantos cumpleaños para mí sólo, pero me duro poco: Uno de mis hermanos mayores no tardó en echarse novia, y dio la casualidad de que la que después se convertiría legalmente en mi cuñada también cumplía años el mismo día. ¿Tengo mala suerte? (O buena, según se mire, que en estos tiempos de crisis no viene mal compartir los gastos de una celebración familiar.) A primera vista, se diría que sí. Pero, ¿qué dicen las matemáticas?

Para calcular la probabilidad de que en un grupo de N personas haya (al menos) dos con la misma fecha de cumpleaños, es más fácil calcular primero la probabilidad complementaria, la de que ninguna de las N personas comparta esa fecha. Esta probabilidad es:

366/366 * 365/366 * 364 / 366 * ... * (366 - N + 1) / 366

o, de forma más compacta:

366!/(366^N * (366 - N)!)

(Tomo 366 como número de fechas diferentes porque hay quien tiene la excentricidad de nacer un 29 de febrero.) Expresado en palabras, la primera persona del grupo puede tener cualquier fecha de cumpleaños; la segunda, cualquiera menos la de la primera; la tercera, cualquiera menos las de la primera y la segunda; y así sucesivamente. En el colegio, en clase éramos unos cuarenta (eran otros tiempos), así que la probabilidad de que nadie compartiera cumpleaños era de 366!/(366⁴⁰ * 326!) = 0,109, o sea que la probabilidad de que hubiera cumpleaños repetidos era 1 - 0,109 = 0,891; casi el 90%. Lo raro, entonces, hubiera sido que no se repitieran. ¿Y en mi familia? Pues más o menos lo mismo; entre padres, suegros, hermanos, cuñados, hijos, sobrinos, primos... seguro que somos más de 40.

Ya en un grupo de 23 personas la probabilidad de que dos de ellas compartan fecha de cumpleaños es mayor que el 50%. Parece raro, pero hay que tener en cuenta que de lo que se trata es de comparar las fechas de cumpleaños por parejas, y en un grupo de 23 personas se pueden formar 22+21+20+...+1 parejas diferentes. O sea, 253. Visto así, ya no resulta tan raro que entre 253 parejas haya al menos una en la que las fechas de cumpleaños coincidan.

Por supuesto, todos estos cálculos presuponen que los nacimientos se distribuyen con la misma probabilidad a lo largo de todo el año, lo que no es cierto. Dejando de lado el hecho obvio de que sólo hay un 29 de febrero cada 4 años, los nacimientos, al menos aquí en España, tienen una misteriosa tendencia a acumularse en los meses de abril, mayo, septiembre y, en menor medida, diciembre y enero; o sea, nueve meses después de las vacaciones de verano, Navidad y Semana Santa. Pensándolo bien, quizá esa tendencia no sea tan misteriosa... Además, hoy en día se producen más nacimientos los días laborables que los festivos, aunque no seré yo quien acuse al personal sanitario de programar los partos a su conveniencia. De todos modos, todas estas fluctuaciones lo único que pueden hacer es aumentar la probabilidad de que dos personas compartan fecha de cumpleaños, así que, en definitiva, no es que haya tenido mala suerte; más bien era inevitable.

¿O quizá no? Porque lo que hemos calculado hasta ahora es la probabilidad de que, dentro de un grupo, dos personas cualesquiera compartan la fecha de cumpleaños. Pero ¿por qué me toca siempre a mí? Eso es otra cosa. Tengo que salir del grupo y calcular la probabilidad de que, en un grupo de N-1 personas, alguno tenga la misma fecha de cumpleaños que yo. Esta nueva probabilidad es 1-(365/366)^N-1. Para N = 40, como antes, la probabilidad es de 0,101, poco más del 10%. Hasta N = 254 no se alcanza una probabilidad superior al 50%. Así que, en realidad, sí, he tenido mala suerte.