Los números naturales no existen

(Contribución de El neutrino a la edición 4.12 del Carnaval de Matemáticas, organizada por High Ability Dimension)

Los números naturales son los números que usamos para contar: 1, 2, 3, 4, 5... Se llaman naturales porque son los más sencillos, y los primeros que utilizó la humanidad. Es muy fácil demostrar que existen infinitos números naturales. Si sólo hubiera un número finito de números naturales, por fuerza uno de ellos, llamémosle m, debería ser mayor que todos los demás. Pero si m es un número natural, m + 1 también lo es, con lo que m ya no es el mayor de todos. Llegamos a una contradicción, luego el número de números naturales no puede ser finito, debe ser infinito.

Pero... supongamos que elegimos al azar uno de esos infinitos números naturales. Según el cálculo de probabilidades, la probabilidad de que el número que hemos elegido sea, por ejemplo, el 3 es:

El número de casos posibles es 1, ya que dentro del conjunto de los números naturales, el 3 sólo está una vez; el número total de casos posibles es el número de números naturales, que ya hemos visto que es infinito; y del cálculo de límites sabemos que uno dividido por infinito vale cero. La probabilidad de que obtengamos el número 3 es nula, igual que la probabilidad de obtener 5/4, pi o un elefante. Si la probabilidad de extraer un elemento dado de un conjunto es nula, entonces lógicamente ese elemento no pertenece a ese conjunto. Podemos hacer lo mismo con 1, 2, 4, 5... y con cualquier número natural n. Para cada uno de ellos, la probabilidad de obtenerlo al extraer un número al azar es nula. Luego ninguno de ellos pertenece al conjunto de los números naturales. Si ningún número natural pertenece al conjunto de los números naturales, entonces el conjunto de los números naturales es el conjunto vacío.

Hemos demostrado que los números naturales no existen. Pero, evidentemente, existen. ¿Dónde está el error? La solución, en los comentarios.